Pugh'un Riemann İntegralini tanımladıktan sonra kanıtladığı ilk teorem, integrallenebilirliğin sınırlılık ima ettiğidir. Bu benim baskımın 155. sayfasındaki Teorem 15. Bu, kişinin önce tanımlar üzerinde anlaşmaya varması gerektiğini gösteriyor.
Riemann integrali sınırlı anlamına mı geliyor?
Teorem 4. Her Riemann integrallenebilir fonksiyonu sınırlıdır.
Sınırsız fonksiyonlar integrallenebilir mi?
Sınırsız bir fonksiyon Riemann integrallenebilir değildir. Aşağıda “integral”, aksi açıkça belirtilmedikçe “Riemann integrali” anlamına gelecek ve “integral”, “Riemann integrali” anlamına gelecektir. f(x)={ 1/x 0 ise < x ≤ 1, x=0 ise 0. bu nedenle f'nin üst Riemann toplamları iyi tanımlı değildir.
Lebesgue integrallenebilir bir fonksiyon sınırlı mıdır?
Sınırlı ölçülebilir fonksiyonlar, Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlara eşdeğerdir. f, sonlu ölçülü ölçülebilir bir E kümesinde tanımlanan sınırlı bir fonksiyon ise. O halde f, ancak ve ancak f Lebesgue integrallenebilir ise ölçülebilir. … Öte yandan, ölçülebilir fonksiyonlar "neredeyse" süreklidir.
Bir fonksiyonun Lebesgue ile integrallenebilir olup olmadığını nasıl anlarsınız?
F, g hemen hemen her yerde f=g olacak şekilde fonksiyonlarsa, o zaman f Lebesgue integrallenebilirdir, ancak ve ancak g Lebesgue ile integrallenebilirse ve f ve g'nin integralleri varsa aynı.
