Matematikte, bir topolojik uzayın bir altkümesinin kapalı iç kısmı boşsa, hiçbir yerde yoğun veya nadir olarak adlandırılır. Çok gevşek bir anlamda, elemanları herhangi bir yerde sıkıca kümelenmemiş bir kümedir. Örneğin, tam sayılar gerçekler arasında hiçbir yerde yoğun değildir, oysa açık top değildir.
1 N hiçbir yerde yoğun değil mi?
Kapalı olmayan ancak yine de hiçbir yerde yoğun olmayan bir küme örneği {1n|
∈N}. Kümede olmayan bir limit noktası vardır (yani 0), ancak {1n|n∈N}∪{0} içine hiçbir açık aralık sığmadığı için kapanması hala hiçbir yerde yoğun değildir.
Bir kümenin hiçbir yerde yoğun olmadığını nasıl kanıtlarsınız?
A altkümesi A ⊆ X, X'te hiçbir yerde yoğun olarak adlandırılır, eğer A'nın kapağının içi boşsa, yani (A)◦=∅. Aksi takdirde, A, içi boş kapalı bir kümede yer alıyorsa hiçbir yerde yoğun değildir. Tümleyenlere geçersek, tümleyeni yoğun bir açık küme içeriyorsa (neden?) A'nın hiçbir yerde yoğun olmadığını söyleyebiliriz.
Yoğun her yer ne anlama geliyor?
Bir X topolojik uzayının A altkümesi yoğundur, bunun için kapatma tüm X uzayıdır (bazı yazarlar terminolojiyi her yerde yoğun kullanır). Yaygın bir alternatif tanım şudur: X'in boş olmayan her açık alt kümesiyle kesişen bir A kümesi.
Her yoğun küme açık mı?
Bir topolojik uzay X, yalnızca ve yalnızca boş olmayan her açık küme X'te yoğunsa hiper bağlantılıdır.her yoğun alt küme açıktır.
